Modelos y Aplicaciones de la Programación Lineal

Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más utilizadas en la Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad.

Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Deterministas (MD) o Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que los parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos introductorios a la Investigación Operativa generalmente se enfocan sólo en Modelos Deterministas.

Las aplicaciones de los modelos de Programación Lineal abarcan diversas áreas de la Ingeniería. A continuación un breve compendio de alguna de sus aplicaciones y referencias de interés para el lector:

1. Problema de Transporte: (Referencia: Hitchcock, 1941; Kantorovich, 1942; Koopmans 1947).

El problema consiste en decidir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen (platas, ciudades, etc) a ciertos puntos de destino (centros de distribución, ciudades, etc) de modo de minimizar los costos de transporte, dada la oferta y demanda en dichos puntos. Se suponen conocidos los costos unitarios de transporte, los requerimientos de demanda y la oferta disponible.

Por ejemplo, suponga que una empresa posee dos plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 400 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centros de distribución con demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades, respectivamente. Los costos de transporte (en $/unidad) son:

parametros-costos-de-transp

Se requiere formular un modelo de Programación Lineal que permita satisfacer los requerimientos de demanda al mínimo costo.

Variables de Decisión:

Xij: Unidades transportadas desde la planta i (i=1, 2) hasta el centro de distribución j (j=1, 2, 3)

Función Objetivo: Minimizar el costo de transporte entre las plantas y los centros de distribución dado por:

Minimizar 21X11 + 25X12 + 15X13 + 28X21 + 13X22 + 19X23

Restricciones:

Satisfacer los requerimientos de Demanda de los Centros de Distribución:

  • X11+ X21 = 200
  • X12 + X22 = 200
  • X13 + X23 = 250

Sujeto a la Oferta o Capacidad de Producción de las Plantas::

  • X11+ X12 + X13 = 250
  • X21 + X22+ X23 = 400

No Negatividad:

  • Xij>= 0   i=1,2 y j=1,2,3

El siguiente diagrama permite una visualización de la situación anterior:

diagrama-problema-transport

A continuación una descripción de la implementación computacional y resolución del problema anterior utilizando el complemento Solver de Microsoft Excel:

1. Abrir una Planilla de Cálculo de Excel. Asegúrese de tener instalado el complemento Solver. Luego construya una planilla como la de la imagen de referencia. Se han marcado con amarillo las celdas cambiantes (variables de decisión) y con color azul la celda de la función objetivo.

planilla-problema-de-transp

Notar que algunas celdas en la imagen anterior consideran fórmulas:

  • F7=SUMA(C7:E7)
  • F8=SUMA(C7:E7)
  • C9=SUMA(C7:C8)
  • D9=SUMA(D7:D8)
  • E9=SUMA(E7:E8)

2. Ingrese la función objetivo, celdas cambiantes y restricciones en la ventana de Parámetros de Solver.  Seleccione también la opción Convertir variables sin restricciones en no negativas. Si utiliza la mismas celdas de la imagen anterior, usted debería obtener lo siguiente:

solver-transporte

3. Seleccione Resolver. Obtendrá la solución al problema y podrá requerir los Informes de Solver. Finalmente presione Aceptar para obtener el o los informes de interés.

solucion-solver-transporte

Finalmente, se obtienen los informes de confiabilidad (o sensibilidad) los cuales entregan información relevante en cuanto a los precios sombra asociados a las restricciones, intervalos de variación de garantizan la validez del precio sombra, intervalo de variación para los coeficientes de la función objetivo, etc.

informe-confiabilidad-solve

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Un Comentario en Modelos y Aplicaciones de la Programación Lineal

  1. Renee gonzales 2 Octubre, 2015 el 5:08 pm #

    Muy buena información.. gracias

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